Что такое теорема Пифагора?
Определение теоремы Пифагора гласит, что сумма квадратов двух катетов прямоугольного треугольника равна сумме квадратов гипотенузы. Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, она всегда лежит против прямого угла. Эта теорема используется при определении длины сторон прямоугольного треугольника.
Формула теоремы Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2 , где a и b — катеты, а c — гипотенуза.
Пифагор
Пифагор был греческим философом и математиком пятого века до нашей эры, которому приписывают несколько научных и математических открытий, в первую очередь теорему Пифагора. Хотя теорема Пифагора была популяризирована Пифагором, другие древние математики в древних цивилизациях, таких как Вавилон и Китай, ранее сформулировали эту идею. Пифагор был первым, кто доказал его справедливость для всех прямоугольных треугольников.
Доказательство теоремы Пифагора
Теорему Пифагора можно доказать несколькими способами. Чтобы доказать теорему алгебраически, начните с диаграммы наклонного квадрата внутри другого квадрата.
Внутренний наклонный квадрат образует четыре прямоугольных треугольника.
Изображение наклонного квадрата внутри другого квадрата, образующего четыре прямоугольных треугольника.
Если внутренний квадрат наклонить так, чтобы его углы касались сторон внешнего квадрата, образуются четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника со сторонами a и b и гипотенузой c. Стороны большего квадрата равны a + b, а стороны внутреннего квадрата равны c. Площадь большего квадрата можно определить двумя способами: A = (a + b)^2 ИЛИ суммой площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата. Поскольку оба метода дают один и тот же результат, эти два метода равны. Итак, математически:
(a + b)^2 = 4(ab/2) + c^2
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
a^2 + b^2 = с^2
Другой способ доказать теорему Пифагора — использовать метод подобных треугольников. Начните с построения прямоугольного треугольника. Затем из вершины прямого угла провести линию, перпендикулярную гипотенузе, как указано на схеме.
Биссектриса из угла B в точку D на гипотенузе
Изображение прямоугольного треугольника с серединным перпендикуляром
Для треугольников ABC и ADB:
угол A = угол A общий угол
угол ADB = угол ABC прямого угла
треугольник ADB подобен треугольнику
Подобие угла ABC
Для треугольников BDC и ABC:
угол C = угол C общий угол
угол CDB = угол CBA прямого угла
треугольник BDC подобен треугольнику ABC угол-подобие угла
Таким образом, все три треугольника подобны, значит, их стороны пропорциональны.
AB/AC = AD/AB, поэтому AB2 = AD?
BC/AC = CD/BC, поэтому BC2 = CD?
AB2 + BC2 = (AD * AC) + (CD * AC)
AB2 + BC2 = AC(AD + CD)
AB2 + BC2 = AC(AC)
AB2 + BC2 = AC2
Теорема Пифагора доказана!
Другой математик, Евклид, доказал теорему еще одним способом, построив квадраты с каждой из сторон прямоугольного треугольника. Метод Евклида часто называют доказательством ветряной мельницы, потому что его форма напоминает ветряную мельницу.
Использование формулы теоремы Пифагора
Поскольку теорема Пифагора была доказана множеством различных методов, формулу a^2 + b^2 = c^2 можно надежно использовать для нахождения длины недостающей стороны прямоугольного треугольника. Длину гипотенузы можно рассчитать по формуле, если известны длины двух других сторон, или можно рассчитать длину одного катета, если даны только длина катета и гипотенуза. Например, используйте формулу Пифагора, чтобы найти гипотенузу, когда длины двух других сторон равны 3 и 4. Чтобы найти гипотенузу, подставьте 3 и 4 вместо a и b, затем найдите с.
3 ^ 2 + 4 ^ 2 = c ^ 2
9 + 16 = c ^ 2
25 = c ^ 2
5 = c
Примечание. Когда вы практикуетесь в выполнении теоремы Пифагора, не забудьте возвести члены a и b в квадрат, прежде чем складывать их вместе.
Некоторые задачи по геометрии требуют определения того, какой тип треугольника присутствует. Для таких типов задач будет полезна обратная теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора гласит, что если сумма квадратов двух более коротких сторон треугольника равна квадрату большей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Пифагорова тройка состоит из трех положительных целых чисел, удовлетворяющих формуле Пифагора. Наименьшая пифагорейская тройка — это 3-4-5, поскольку 3^2 + 4^2 = 5^2 , а другой пример — 5-12-13, потому что 5^2 + 12^2 = 13^2 .
Квадрат Пифагора — это инструмент, который может быть полезен при использовании теоремы Пифагора. Квадрат Пифагора представляет собой таблицу умножения в форме квадрата, где правильные квадраты расположены по диагонали от верхнего левого угла к нижнему правому. Этот инструмент может быть полезен для быстрого определения квадратов чисел.
Примеры теоремы Пифагора
Чтобы закрепить принцип работы теоремы Пифагора, следуйте этим примерам:
Пример 1: Найдите длину стороны a треугольника со стороной b = 7 и гипотенузой 10.
Решение: сначала подставьте числа в формулу. Затем упростите и решите для переменной a.
a^2 + 7^2 = 10^2
a^2 + 49 = 100
a^2 = 51
a = 7,14
Пример 2: Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 13.
Решение: Стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равны, поэтому
13 ^ 2 + 13 ^ 2 = c ^ 2
169 + 169 = c ^ 2
338 = c ^ 2
18,38 = c
Пример 3: Если длина диагонали прямоугольника равна 12, а ширина прямоугольника равна 8, какова длина (b) прямоугольника?
Решение: Поскольку у прямоугольника четыре прямых угла, диагональ прямоугольника совпадает с гипотенузой двух треугольников, которые он образует. Итак, длину прямоугольника можно найти по теореме Пифагора.
8^2 + b^2 = 12^2
64 + b^2 = 144
b^2 = 80
b = 8,94
Для чего используется теорема Пифагора?
Помимо того, что теорема Пифагора является полезным инструментом для решения геометрических задач, она полезна во многих повседневных и профессиональных ситуациях. Строители и маляры могут использовать теорему, чтобы выяснить, какая длина лестницы необходима для достижения определенной высоты. Инженеры полагаются на теорему при проектировании мостов, дорог и карт. Теорема также полезна в навигации, помогая определить кратчайшее расстояние или наиболее эффективный путь.
Резюме урока
Теорема Пифагора, впервые доказанная греческим философом и математиком Пифагором, утверждает, что для всех прямоугольных треугольников сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату гипотенузы. Справедливость теоремы была доказана различными способами несколькими математиками после Пифагора, включая Евклида. Теорема Пифагора полезна не только в рамках изучения геометрии, но и в повседневной жизни и во многих профессиях.